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理解黎曼猜想(三)你真的相信所有自然数之和等于-1/12吗?

理论纵横 2021-07-12 16:15109网络整理政治文化研究网

【袁兰峰,中国科学技术大学化学博士,中国科学技术大学合肥国家微尺度物质科学研究中心副研究员,科技与战略学会会长,青年科学家社会责任联盟主任]

在前两集(见文章和视频)中,我们介绍了黎曼猜想的背景,即素数的分布,以及研究素数分布的基本工具,即欧拉乘积公式。到此为止,我们讲了欧拉的工作,黎曼还没出来!

那么黎曼做了什么?黎曼做了很多事情,他的基本目标是得到质数分布的清晰表达。在这个过程中,他提出了一个著名的猜想,就是黎曼猜想。同时,他推导过程的一个副产品已经非常出名,他在大众中的名声甚至比黎曼猜想还要大。这个副产品是什么?其公式如下:

所有自然数之和等于-1/12。你 80% 的时间都听过这句话,对吧? !

其实很多朋友不仅听说过这个说法,而且还很相信。他们从字面上理解这句话。这样一来,就产生了严重的矛盾:自然数一个一个地相加,不应该是越来越大,越界了吧?怎么可能得到一个有限值?更不可思议的是你怎么能得到负值?正数加正数只能得到正数,怎么会变成负数?

如果一直这样想,越想越可怕。常识不可靠吗?数学是一门违反常识的学科吗?数学家是一群向公众隐瞒了许多可怕秘密的阴谋家吗? ...

爱德华蒙克《呐喊》

更让公众恐慌的是,有很多所谓的科普节目顺着这个调子出了很多大新闻。他们的典型说法是这样的:

“这个计算是数学中最不为人知的秘密之一。只有数学家才知道。”

“这是一个可怕的结果。”

“这确实有悖常理,因为你总是想停止序列,而一旦序列停止,你就无法理解结果了。”

“在数轴的无穷远处,有一个全新的数学体系等着我们去建立。”......

所以,我的很多朋友都来了,很担心地问我。用他们的话来说,世界观就要崩溃了!

好吧,借这个机会给大家解释一下所谓的“所有自然数之和等于-1/12”是什么。类似的说法还有很多,比如所谓“无穷多个1加起来是-1/2”、“所有自然数的平方和等于0”等。道理都是一样的,顺便一看就知道了。

首先告诉大家基本的答案:你的常识是对的,这些说法都是错的,数学并没有推翻常识。数学家不是阴谋家,数学家也没有对你隐瞒任何事情。你完全不需要害怕,你可以完全保留你的世界观和安全感。

那么,虽然这些说法是错误的,但也不是毫无意义的胡说八道。所有这些都可以通过修改变得有意义。俗话说:我想我还能再救一次!

我想我可以再次拯救它

救什么?正是为了挽救这些陈述中“和谐”的定义。换句话说,如果按照最基本的加法,1加2等于3,3加4等于7,依此类推,那么这些说法都是无稽之谈。但是如果你定义了一些其他的加法方法,那么这些语句就可以变成正确的了。

接下来说说黎曼计算所有自然数之和等于-1/12的意义。

在前两期中,我们已经说过,研究素数分布的基本出发点是欧拉乘积公式:

这个公式左边的n代表所有的自然数,1、2、3、4、5等,右边的p代表所有的素数,2、3、5、7、11 等等。出现在公式两端的s是一个变量,欧拉乘积公式当且仅当s>1时成立。

数学家经常使用大写希腊字母 Σ 表示求和,使用大写希腊字母 Π 表示连续乘法。用这种表达方式,我们可以将欧拉乘积公式简写如下:

让我们将欧拉乘积公式左侧的无穷级数表示为 ζ(s)(ζ 是希腊字母,读作 zeta)。再强调一下,欧拉乘积公式只在s>1时有效,在s≤1时无效,为什么?原因我们在前面的程序中解释过,ζ(1),即所有自然数的倒数之和,等于无穷大。所有自然数的倒数和也称为调和级数,等于到无穷大。换句话说,调和级数是发散的。并且在s 1 的范围内使用时。

按照欧拉的路线走,基本就到这里了,没什么大浪。让我们送走大神欧拉~

欧拉

几处山河无处可寻,黑暗中还有一个村庄,我们新一代大神黎曼登台!