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幂级数和函数法

理论纵横 2021-10-05 17:3995网络整理政治文化研究网

幂级数的应用范围很广,但有时我们对它的求和函数很感兴趣。虽然不是每一个幂级数都能找到和函数幂数列求和纵横理论,但是我们可以找到具有一定特征的幂级数的和函数。

首先,目前我们找到的级数和的方法并不多,所以求一般幂级数的和函数比较困难。但是,我们精通几何级数的求和公式。那么,如果幂级数的通项与几何级数有一定的联系,我们就可以将它们相加。这里主要使用的是幂级数的和函数的一些重要性质,即连续的、可积的、可微的。

连续性:幂级数的和函数\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\)\(s(x)\)在其收敛域\(I\)上是连续的;

可积性:幂级数的和函数\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\)在其收敛域\(I\)上是可积的,并且有一个分项积分公式:

\(\int_0^x {s(x)dx} = \int_0^x {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\int_0^x {{a_n}{x^n}} dx = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{a_n}}}{{n + 1} }}}} {x^{n + 1}}\)。

并且逐项积分后的级数与原始级数具有相同的收敛半径

简单的说,积分可以与极限(级数运算)互换,对于一般的函数项级数不一定如此,但对幂级数来说却是这样。

可微性:幂级数的和函数\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\)\(s(x)\) 在其收敛域\(I\)上是可微的,并且有是一个逐项的导数公式:

\(s'(x) = (\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} )'= \sum\limits_{n = 0}^\infty {({a_n {x^n})'} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {n{a_n}{x^{n-1}}} \)

并且逐项导出后的级数与原始级数具有相同的收敛半径。

简单来说,导数运算可以与极限(级数运算)互换,这对于一般的函数项级数不一定成立,但对于幂级数来说却是成立的。

那么,知道了上述性质之后,计算幂级数的sum函数的思路就是尽量得到一个可以通过逐项求导或逐项积分求和的几何级数,然后进行相应的求逆求和函数的操作。例如,将原始幂级数逐项推导得到几何级数。那么这个几何级数的求和函数就是对原幂级数求和函数的导数,积分就可以得到原幂级数。求和函数。但是,需要先找到原始幂级数的收敛域。

例1:求幂级数\(\sum\limits_(n=0)^\infty nx^(n-1)\)的求和函数。

先求收敛区域,收敛半径\(R = \lim \limits_{n \to \infty} \frac{n}{{n + 1}} = 1\),收敛区间为\((-1 ,1)\). 显然,幂级数在\(x = \pm1\)时发散,所以收敛域为\((-1,1)\)。

注意\(nx^{n-1}=(x^n)'\),而\(\sum\limits_{n=0}^\infty x^n\)是可以求和的几何级数.

记住求和函数\(s(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1}\),然后

\(\int_0^x {s(x)dx} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\int_0^x {n{x^{n-1}}} dx} = \sum\limits_ {n = 1}^\infty {{x^n}} = \frac{x}{{1-x}}\)